Jose Tapiero Ortiz_Grupo_B1_Calculo

Mi nombre es Jose erley tapiero ortiz nací en Riohacha/La Guajira_Colombia el 8 de octubre de 1997, hoy en día en la actualidad tengo 23 años y estudio ingeniería mecánica en la universidad de la guajira.

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Introducción

El concepto límite es fundamental en el estudio del Cálculo, además, es propio del tipo de pensamiento requerido para el estudio de Matemáticas avanzadas. Es decir, el estudio y trabajo de este concepto dentro del cálculo es la base para la Matemática básica de grados más avanzados. El concepto límite de una función en un punto forma parte de los contenidos que deben ser abordados desde el Nivel Medio Superior es decir esto aprendizajes vienen desde la escuela. Este concepto es esencial ya que ocupa una posición central en el campo conceptual del Cálculo Diferencial e Integral, así como en la Teoría de Aproximaciones y la Continuidad. Su complejidad resulta ser fuente de dificultades tanto para la enseñanza como para el aprendizaje, ademas de estos cuando nos referimos a limites sabemos que es un punto en especifico el cual no podemos sobrepasar.

Objetivos específicos

1. ampliar los conocimiento de las demás personas que se encuentran en el proceso de aprendizaje de limites.

2. comprender e interpretar el concepto de limites tanto en la vida cotidiana con en un ejercicio propuesto a resolver.

3.aprender a calcular limites de una función utilizando los diferentes métodos (factorizacion, racionalización entre otros) y aprender como graficarlos.

Articulo

Se dice que una variable tiene un límite o tiende a un límite si, en la sucesión de sus valores, se verifica que a partir de uno de ellos la diferencia entre los demás y el límite es, en valor absoluto, tan pequeña como se quiera, es decir el límite de la función f(x) cuando x tiende a a es el número b, si se verifica que los valores de la función f(x) se aproximan tanto como queramos a b, tomando los valores de la variable x convenientemente próximos a a (no se hace ninguna hipótesis sobre el valor de la función en el punto a).

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Concepto de limites

En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor tanto por la izquierda como por la derecha. Un limite viene a ser una barrera al que nos podemos aproximar tanto como queramos pero nunca podemos sobrepasar.

los limites son una aproximación a dicho punto tanto como por la izquierda (-), como por la derecha (+)

AHORA
Dada una función $f : R \to R$ y un punto $x_{0} \in R$ , el límite de $f$ cuando $x$ tiende a $x_{0}$ se representa como
En un principio, este límite es el valor que toma $f$ en el punto $x_{0}$ , es decir, $f (x_{0})$ . Si $f (x_{0})$ no existe (por ejemplo, cuando $x_{0}$ anula el denominador de $f$ ), entonces el límite es el valor al que $f$ se aproxima cuando $x$ se aproxima a $x_{0}$ .
Por ejemplo, sea la función
No existe $f (0)$ , pero cuanto más se aproxima $x$ a $0$ , la función crece más y más, como podemos observar en la gráfica:
Por tanto, el límite de $f$ cuando $x$ tiende a $0$ es infinito:
También, podemos predecir el comportamiento de la función cuando $x$ crece o decrece indefinidamente (cuando $x$ tiende a $\pm \infty$ ). Cuando esto ocurre, la función $f (x) = 1 / x^{2}$ se aproxima cada vez más a $0$ :

Calculamos el límite (sustituyendo):
Definición formal de limites
Para los interesados, la definición formal del límite es la siguiente:
Sea la función $f : R \to R$ y sea $x_{0} \in R$ , existe el límite de $f$ cuando $x$ tiende a $x_{0}$ y es $K \in R$ si $\forall ε > 0$ , $\exists δ > 0$ tal que
Matemáticamente, lo resumimos con la notación de límite:
La definición del límite cuando $x \to \infty$ es ligeramente distinta.
Propiedades de los limites.
  siempre que no aparezca la indeterminación .
  con .
  siempre y cuando no aparezca la indeterminación .
  siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones  e .
  con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.
  siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .
Límites laterales

Vimos en un ejemplo anterior que la función $f (x) = 1 / x^{2}$ tiende a $+ \infty$ cuando $x$ tiende a $0$ . Sin embargo, no ocurre los mismo con la función $f (x) = 1 / x$ :
En este caso, la función crece indefinidamente cuando $x$ se aproxima a $0$ por la derecha (de $0$ ) y decrece indefinidamente cuando se aproxima a $0$ por la izquierda.
En este caso, decimos que no existe el límite $x \to 0$ , pero sí existen los límites laterales.
El límite lateral de $f$ por la derecha de $0$ es
Y el límite lateral de $f$ por la izquierda de $0$ es
El límite de $f (x)$ cuando $x$ tiende a $x_{0}$ existe si y sólo si existen los límites laterales y, además, coinciden:
Límite por la izquierda:
Límite por la derecha:
Limites indeterminados
Los límites indeterminados (o indeterminaciones) no indican que el limite no exista, sino que no se puede anticipar el resultado.
Se tendrán que hacer operaciones adicionales para eliminar la indeterminación y averiguar entonces el valor del limite (en el caso de que exista). Ese valor puede ser un número finito, incluido el cero, o +∞ o bien -∞.
Aparecen indeterminaciones cuando, al sustituir la variable (x) de la expresión por el valor del limite al que tiende ésta, se convierte en uno de los casos siguientes:
Pero no serán indeterminaciones cuando, al realizar la sustitución mencionada de la variable por el valor de su limite, aparecen resultados como estos, siendo m un valor finito diferente de cero:
El siguiente limite, por ejemplo, es indeterminado:
Por el contrario, este limite no tiene indeterminación:
Límite indeterminado ejemplo
Solución
Si sustituimos $x$ por $- 3$ obtenemos una indeterminación:
Sin embargo, podemos utilizar el método de factorizacion:
sustituimos en x por x= 0, nos queda de la siguiente manera
3 - 3 = 0

Límite por medio de conjugación o racionalización
Este tipo de limites se presenta cuando aparece una raíz en el numerador o el denominador de una función racional y está al ser evaluado el limite se vuelve cero en el denominador. Racionalizar una fracción consiste en conseguir que su denominador sea racional y , podemos considerarlo como un proceso de simplificación.

Límites infinitos
Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. ... Para ello, el valor al que tienda la variable independiente x puede ser tanto a un número finito, como tender al infinito (límites al infinito).

Veamos un caso, con un límite infinito en la siguiente función:
Su límite cuando la variable tiende a 2 es:
Se puede comprobar si damos valores a la x cada vez más cercanos a 2, tanto acercándonos por su izquierda como por su derecha, como se ve en el siguiente cuadro, el límite tiende a +∞:

Visto en esta gráfica:

Limites al infinito
Un límite al infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la variable x se hace tan grande, tanto en positivo como en negativo, como queramos. Entonces la función f(x) puede tender a un valor finito o puede diverger a infinito (límite infinito). Veamos los tipos de límites al infinito que se pueden presentar

Veamos un caso, con un límite al infinito en la siguiente función:
Su límite cuando la variable tiende a 2 es:
Se puede comprobar si damos valores a la x cada vez más cercanos a +∞. Como se ve en el siguiente cuadro, el límite tiende a 1:

Visto en esta gráfica:

Continuidad en un punto
Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1.
está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f)
2.
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}}$ existe
3.
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}}=f(c)$
La función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.
Ejemplo
Determinar si la función  definida por $f(x)= \displaystyle\frac{3x}{x^2-x}$ es continua en
Primero $f(2)=\displaystyle\frac{3\cdot 2}{4-2}=3$ por lo que f está definida en 2
Calculemos $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{3x}{x^2-x}}=\frac{3\cdot 2}{4-2}=3}$ (de aquí $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$ existe)

Como $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=f(2)$ entonces f es continua en

Note que f no está definida ni en , ni en  por lo que f es discontinua en esos puntos.

Ejemplo
Determine si la función  definida por

$h(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \vert x-4\vert & si & x\neq 4 \\ & & \\ 3 & si & x = 4 \\ \end{array} \right.$

es o no continua en

Se tiene que  (es decir, 4 pertenece al dominio de )

Además $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{4}}{\vert x-4\vert}=\vert 4-4\vert=0$

Pero $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{4}}{h(x)}\neq h(4)$ por lo que  es discontinua en .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Ejemplo
Sea f la función definida $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{x^2+x-2}{x+2} & si & x\neq -2 \\ & & \\ -3 & si & x=-2 \\ \end{array}\right.$
Determinar si f es continua en

Según la definición de la función .

Además $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{-2}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{-2}}{\frac{x^2... ...{x \rightarrow{-2}}{\frac{(x+2)(x-1)}{x+2}}=\lim_{x \rightarrow{-2}}{(x-1)}=-3}$

Luego $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{-2}}{f(x)}=f(-2)$ por lo que f es continua en

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

Continuidad en un intervalo
Una función f definida en un intervalo , es continua en el intervalo si:
a.
es continua para todo  tal que $x \in [a,b]$

b. es continua por la derecha en "a"

c. es continua por la izquierda en "b"

Es decir, f es continua en  si:
a.     $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{x_{0}}}{f(x)}=f(x_{0})$    $\forall \;\; x_{0} \in \;\;]a,b[$

b. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{a^+}}{f(x)}=f(a)$

c. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{b^-}}{f(x)}=f(b)$

Ejemplo
Consideremos la función f definida por $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ .

Esta función es continua en el intervalo cerrado , ya que si $x_{0} \; \in \;\; ]-2,2[$ se tiene que:
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow{x_{0}}}{\sqrt{4-x^2}}=\sqrt{4-x_{0}^2}=f(x_{0})$ ; además
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow{-2^+}}{\sqrt{4-x^2}}=0=f(-2)$ , y, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2^-}}{\sqrt{4-x^2}}=0=f(2)$

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

También se tiene que una función  definida en el intervalo , es continua en ese intervalo, si y solo si es continua en el intervalo abierto  y es continua por la derecha de "a".

Similarmente, para que una función  definida en el intervalo  sea continua en ese intervalo, es necesario que  sea continua en el intervalo abierto  y a la vez que sea continua por la izquierda en "b".

Ejemplo
Consideremos la función definida por $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2-x}}$ en el intervalo .

Para $x_{0} \in \;\; ]0,2[$ , se tiene que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{x_{0}}}{\frac{1}{\sqrt{2-x}}}=\frac{1}{\sqrt{2-x_{0}}}=f(x_{0})}$

Además $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0^+}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{0^+}}{\frac{1}{\sqrt{2-x}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$ , por lo que la función es continua por la derecha en .

Luego f es continua en

Ejemplo
Considere la función  definida por $f(x)=\displaystyle\frac{4}{2x+3}$ en el intervalo $\left ]\displaystyle{\frac{-3}{2}},2\right]$ .

Pare $c \;\; \in \left ]\displaystyle\frac{-3}{2},2 \right[$ se tiene que $f(c)=\displaystyle\frac{4}{2c+3}$ y
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{c}}{\frac{4}{2x+3}}=\frac{4}{2c+3}}$ por lo que  es continua en $\left ]\displaystyle\frac{-3}{2},2\right[$

Además, $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2^-}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2^-}}{\frac{4}{2x+3}}=\frac{4}{7}=f(2)}$ y  es continua por la izquierda en 2.

Luego  es continua en el intervalo $\left ]\displaystyle\frac{-3}{2},2\right[$
Discontinuidades de una función
Una discontinuidad en matemática es un punto de una función y=f(x) en la cual la misma sufre un "salto" o cambio "brusco" de valor. Se verifica una discontinuidad cuando el valor de la función en un punto difiere del límite de esa función cuando nos acercamos a ese punto por derecha y por izquierda.

Continuidad por la izquierda
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y lim_x->a-f(x) = f(a).

Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y lim_x->a+f(x) = f(a).
La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Tipos de discontinuidades
$\left \{ \begin{array}{l} Discontinua { \color{Red} \left \{ \begin{array}{l} Evitable \\ No \; evitable { \color{PineGreen} \left \{ \begin{array}{l} De \; primera \; especie { \color{Blue} \left \{ \begin{array}{l} De \; salto \; finito \\ De \; salto \; infinito \\ Asint \acute{o} tica \end{array} \right . }\\ \\ De \; segunda \; especie \end{array} \right . } \\ \end{array} \right . } \\ Continua \end{array} \right .$

Discontinuidad evitable
Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos casos.
Si el límite cuando x tiende a a, es c, y el valor de la función evaluada en a es d, la función es discontinua en a.
$\left \{ \begin{array}{l} \left . \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{\text{lím}} \; f(x) = c \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{\text{lím}} \; f(x) = c \end{array} \right \} \underset{x \to {a}}{\text{lím}} \; f(x) = c \\ \\ f(a) = d \end{array} \right .$

Discontinuidad de primera especie
En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:
De salto finito
Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:
A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:
$Salto = \Big| \lim_{x\to {a}^{-}}f(x)-\lim_{x\to {a}^{+}}f(x) \Big|$
Si la función tiende a c, cuando x tiende a a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por la derecha, en el punto x = a, se presenta un salto, independientemente del valor de la función en ese punto.
$\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = d \\ \\ \nexists f(a) \end{array} \right .$

De salto infinito
Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:
$\left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; de \; salto \; infinito$
Así podemos ver los casos:
$\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \end{array} \right .$

Discontinuidad asintótica
Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:
$\left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; asint \acute{o} tica$
A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.
$\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \end{array} \right .$

Discontinuidad de segunda especie
Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.
$\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\ \forall x > a: \; \nexists f(x) \end{array} \right .$

Mapa conceptual

Conclusiones

1. Se concluye este trabajo dejando claro el concepto y tipos de limites aclarando la importancia de las reglas básicas para comprobar, si un limite es continuo o discontinuo o si existe en dicho caso alguna indeterminación.

2. Podemos concluir que los limites son fundamentales para la sociedad ya que apartir de ellos podemos resolver problemas de aplicacion que se nos presentan en la vida cotidiana..

3. Los limites demuestran el comportamiento de una función con respecto nos acercamos mas aun punto determinado tanto como por izquierda, como por derecha y demuestran en que lugar en si esta determinado dicho punto de la función.

  Hipervinculos

file:///C:/Users/pc/Downloads/21606-Texto%20del%20art%C3%ADculo-21530-1-10-20060309%20(1).pdf

https://www.problemasyecuaciones.com/limites/calculo-limites-explicados-metodos-reglas-procedimientos-indeterminaciones-grados-infinito-resueltos.html#:~:text=2.,Concepto%20de%20l%C3%ADmite&text=En%20un%20principio%2C%20este%20l%C3%ADmite,se%20aproxima%20a%20x0%20.

https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/limites-infinitos/#:~:text=Se%20dice%20que%20existe%20l%C3%ADmite,funci%C3%B3n%20tan%20grande%20como%20queramos.&text=Para%20ello%2C%20el%20valor%20al,infinito%20(l%C3%ADmites%20al%20infinito).

https://sites.google.com/site/matematicasaplicadas12/limites-y-continuidad

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